Procedimientos fáciles de cálculo mental

Procedimientos fáciles de cálculo mental

Aquí se han recogido algunos procedimientos de cálculo mental rápido, simples y fáciles de aprender. Los que utilicen estos procedimientos deben recordar que su dominio eficaz presupone no su aplicación mecánica, sino completamente consciente y, además, un entrenamiento más o menos prolongado. Pero una vez aprendidos los procedimientos que recomendamos, pueden hacerse cálculos mentales rápidos con la misma seguridad que se escribieran.

Multiplicación por un número dígito
1. Para multiplicar mentalmente un número por un factor dígito (por ejemplo, 27 * 8), se opera empezando por multiplicar no las unidades, como en el cálculo escrito, sino las decenas del multiplicando (20 * 8 = 160), después se multiplican las unidades (7 * 8 = 56) y luego se suman ambos resultados (160 + 56 = 216). Otros ejemplos:

34 * 7 = 30 * 7 + 4 * 7 = 210 + 28 = 238
47 * 6 = 40 * 6 + 7 * 6 = 240 + 42 = 282

2. Conviene saber de memoria la tabla de multiplicar hasta 19 * 9:

Sabiendo esta tabla se puede multiplicar mentalmente, por ejemplo, 147 * 8, así:

147 * 8 = 140 * 8 + 7 * 8 = 1120 + 56 = 1176.

3. Cuando uno de los números que se multiplica puede descomponerse en factores dígitos, resulta cómodo multiplicar sucesivamente por estos factores. Por ejemplo:

225 * 6 = 225 * 2 * 3 = 450 * 3 + 1350.

Multiplicación por un número de dos cifras
4. La multiplicación por un número de dos cifras se procura simplificar para el cálculo mental reduciéndola a una multiplicación más habitual por un número dígito.
Cuando el multiplicando es dígito, se considera mentalmente que es multiplicador y las operaciones se hacen como se dijo en el § 1. Por ejemplo:

6 * 28 = 28 * 6 = 120 + 48 = 168.

5. Si los dos factores tienen dos cifras, uno de ellos se descompone en decenas y unidades. Por ejemplo:

29 * 12 = 29 * 10 + 29 * 2 = 290 + 58 = 348.
41 * 16 = 41 * 10 + 41 * 6 = 419 + 246 = 656.
(ó 41 * 16 = 16 * 41 = 16 * 40 + 16 - 640 + 16-656)

Resulta más conveniente descomponer en decenas y unidades el factor en que éstas vienen expresadas con números menores.

6. Si el multiplicando o el multiplicador puede descomponerse mentalmente y con facilidad en números dígitos (por ejemplo, 14 = 2 * 7), se aprovecha esta circunstancia para disminuir uno de los factores, aumentando el otro las mismas veces (compárese con el § 3). Por ejemplo:

45 * 14 = 90 * 7 = 630.

Multiplicación y división por 4 y por 8
7. Para multiplicar, mentalmente, un número por 4, se duplica dos veces. Por ejemplo:

112 * 4 = 224 * 2 = 448
335 * 4 = 670 * 2 = 1340.

8. Para multiplicar, mentalmente, un número por 8, se duplica tres veces. Por ejemplo:

217 * 8 = 434 * 4 = 868 * 2 =1736.

Otro procedimiento de multiplicar mentalmente por 8 consiste en añadirle un cero al multiplicando y réstale el duplo de dicho multiplicando (es decir, en definitiva se multiplica por 10 - 2):

217 * 8 = 2170 - 434 = 1736.

Resulta aún más cómodo proceder así:

217 * 8 = 200 * 8 + 17 * 8 = 1600 + 136 = 1736.

9. Para dividir un número por 4 mentalmente, se divide dos veces por dos. Por ejemplo:

76 : 4 = 38 : 2 = 19
236 : 4 = 118 : 2 = 59.

10. Para dividir un número por 8 mentalmente, se divide tres veces por dos. Por ejemplo:

464 : 8 = 232 : 4 =116 : 2 = 58.
516 : 8 = 258 : 4 = 129 : 2 = 64,5.

Multiplicación por 5 y por 25
11. Para multiplicar, mentalmente, un número por 5, se multiplica por 10/2, es decir, se le añade al número un cero y se divide por dos. Por ejemplo:

74 * 5 = 740 : 2 = 370.
243 * 5 = 2430 : 2 = 1215.

Cuando el número que se multiplica por 5 es par, resulta más cómodo dividir primeramente por 2 y añadir después un cero a la cantidad obtenida. Por ejemplo:

74 * 5 = 74/2 * 10 = 370.

12. Para multiplicar un número por 25 mentalmente, se multiplica por 100/4, es decir, si el número es múltiplo de cuatro, se divide por 4 y al cociente se le añaden dos ceros. Por ejemplo:

72 * 25 = 72/4 * 100 = 1800.

Si al dividir el número por 4 queda resto,

La base, en que funda este procedimiento queda aclarada por el hecho de que 100 :
4 = 25; 200 : 4 = 50; y 300 : 4 = 75.

Multiplicación por 1½, por 1 1/4, por 2½ y por 3/4
13. Para multiplicar, mentalmente, un número por 1½, se le añade al multiplicando su mitad. Por ejemplo:

34 * 1 ½ = 34 + 17 = 51
23 * 1½= 23 + 11½= 34½ (ó 34,5).

14. Para multiplicar, mentalmente, un número por 1¼, se le añade al multiplicando su cuarta parte. Por ejemplo:

48 * 1¼= 48 + 12 = 60
58 * ¼ * 58 + 14½= 72½ (ó 72,5).

15. Para multiplicar un número por 2½mentalmente, al número duplicado se la
añade la mitad del multiplicando. Por ejemplo:

18 * 2½= 36 + 9 = 45
39 * 2½= 78 + 19½= 97½ (ó 97,5).

Otro procedimiento consiste en multiplicar por 5 y dividir por dos:

18 * 2½ = 90 : 2 = 45.

16. Para multiplicar un número por ¾ mentalmente (es decir, para hallar las ¾
partes de dicho número), se multiplica por 1½ y se divide por dos. Por ejemplo:

30 * ¾ = (30 + 15)/2 = 22½ (ó 22,5).

Una variante de este procedimiento consiste en que al multiplicando se le resta su cuarta parte o a la mitad del multiplicando se le añade la mitad de esta mitad.

Multiplicación por 15, por 125, por 75
17. La multiplicación por 15, se sustituye por la multiplicación por 10 y por 1½ (porque 10 * 1½= 15).
Por ejemplo:

18 * 15 = 18 * 1½* 10 = 270
45 * 15 = 450 + 225 = 675

18. La multiplicación por 125 se sustituye por la multiplicación por 100 y por 1¼ (porque 100 * 1¼= 125). Por ejemplo:

26 * 125 = 26 * 100 * 1¼ = 2600 + 650 = 3250
47 * 125 = 47 * 100 * 1¼= 4700 + 4700/4 = 4700 + 1175 = 5875

19. La multiplicación por 75 se sustituye por una multiplicación por 100 y por ¾ (porque 100 * ¾= 75). Por ejemplo:

18 * 75 = 18 * 100 * ¾= 1800 * ¾= (1800 + 900)/2 = 1350

Observación: Algunos de los ejemplos citados también pueden resolverse fácilmente por el Procedimiento 6.

18 * 15 = 90 * 3 = 270
26 * 125 = 130 * 25 = 3250

Multiplicación por 9 y por 11
20. Para multiplicar mentalmente, un número por 9, se le añade al número un cero y se le resta el multiplicando. Por ejemplo:

62 * 9 = 620 - 62 = 600 - 42 = 558
73 * 9 = 730 - 73 = 700 - 43 = 657

21. Para multiplicar un número por 11 mentalmente, se le añade al número un cero y se le suma el multiplicando. Por ejemplo:

87 * 11 = 870 + 87 = 957

División por 5, por 1½ y por 15
22. Para dividir mentalmente, un número por 5, se separa con una coma la última cifra del duplo del número. Por ejemplo:

68 / 5 = 136 /10 = 13,6
237 / 5 = 474 / 10 = 47,4

23. Para dividir un número por 1½ mentalmente, se divide por 3 el duplo del número. Por ejemplo:

36 : 1½= 72 : 3 = 24.
53 : 1½=106 : 3 = 35 1/3.

24. Para dividir un número por 15 mentalmente, se divide por 30 el duplo de dicho número. Por ejemplo:

240 : 15 = 480 : 30 = 48 : 3 =16
462 : 15 = 924 : 30 = 3024/30 = 304/5 = 30,8
(ó 924 : 30 - 308 : 10 = 30,8).

Cálculos por la fórmula (a + b)*(a - b) = a2 - b2
29. Supongamos que hay que hacer mentalmente la multiplicación 52 * 48.

Nos figuramos estos factores en la forma (50 + 2) * (50 - 2) y aplicamos la fórmula que figura en el encabezamiento:

(50 + 2) * (50 - 2) - 502 - 22 = 2496.

De un modo semejante se procede en general en todos los casos en que uno de los factores resulta cómodo representarlo en forma de suma de dos números, y el otro, en forma de diferencia de estos mismos números.

69 * 71 = (70 - 1) * (70 + 1) = 4899.
33 * 27 = (30 + 3) * (30 - 3) = 891.
53 * 57 = (55 - 2) * (55 + 2) = 3021.
84 * 86 = (85 - 1) * (85 + 1) = 7224.

30. Este mismo procedimiento puede utilizarse también eficazmente para los cálculos del tipo siguiente:

7½* 6½ = ( 7 + ½) * ( 7 - ½) = 48 ¾
11¾* 12¼= (12 - ½) * (12 + ¼) = 14315/16.

Conviene recordar que 37 * 3 = 111
Recordando esto es fácil multiplicar mentalmente el número 37 por 6, 9, 12, etc.

37 * 6 = 37 x 3 * 2 = 222.
37 * 9 = 37 * 3 * 3 = 333.
37 * 12 = 37 * 3 * 4 = 444.
37 * 15 = 37 * 3 * 4 = 555, etc.,

Conviene recordar que 7 * 11 * 13 = 1001
Recordando esto es fácil practicar mentalmente multiplicaciones del tipo

Aquí sólo se ha hecho mención de los procedimientos mentales más fáciles y de uso más frecuente de multiplicación, división y elevación al cuadrado.